Prakalkulus Contoh

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y + 64 = 0$

Langkah 1

Kurangkan $64$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y = - 64$

Langkah 2

Bagilah kedua sisi persamaan tersebut dengan $9$ .

$x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

Langkah 3

Selesaikan kuadrat dari $x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Langkah 3.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 3.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Langkah 3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{1}$

Langkah 3.3.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$d = 3$

Langkah 3.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Langkah 3.4.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Langkah 3.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$e = 0 - 9$

Langkah 3.4.2.2

Kurangi $9$ dengan $0$ .

$e = - 9$

Langkah 3.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(x + 3)}^{2} - 9$ .

${(x + 3)}^{2} - 9$

Langkah 4

Substitusikan ${(x + 3)}^{2} - 9$ untuk $x^{2} + 6 x$ dalam persamaan $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ .

${(x + 3)}^{2} - 9 + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

Langkah 5

Pindahkan $- 9$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $9$ ke kedua sisinya.

${(x + 3)}^{2} + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9} + 9$

Langkah 6

Selesaikan kuadrat dari $y^{2} - \frac{2 y}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Langkah 6.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 6.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 1$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Langkah 6.3.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 6.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 6.3.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 6.3.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 6.3.2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.3.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{1}{3}$

Langkah 6.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2.1.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2.1.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2.1.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2.1.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2.1.1.6

Kalikan $\frac{4}{9}$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Langkah 6.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Langkah 6.4.2.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Langkah 6.4.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Langkah 6.4.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Langkah 6.4.2.2

Kurangi $\frac{1}{9}$ dengan $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Langkah 7

Substitusikan ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ untuk $y^{2} - \frac{2 y}{3}$ dalam persamaan $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} = - \frac{64}{9} + 9$

Langkah 8

Pindahkan $- \frac{1}{9}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $\frac{1}{9}$ ke kedua sisinya.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$

Langkah 9

Sederhanakan $- \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 64 + 1}{9}$

Langkah 9.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $- 64$ dan $1$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 63}{9}$

Langkah 9.2.2

Bagilah $- 63$ dengan $9$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 - 7$

Langkah 9.2.3

Kurangi $7$ dengan $9$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 2$

Langkah 10

Ini adalah bentuk lingkaran. Gunakan bentuk ini untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Langkah 11

Sesuaikan nilai-nilai dari lingkaran ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $r$ mewakili jari-jari lingkaran, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ adalah y-offset dari titik asal.

$r = \sqrt{2}$

$h = - 3$

$k = \frac{1}{3}$

Langkah 12

Pusat lingkaran ditentukan pada $(h, k)$ .

Pusat: $(- 3, \frac{1}{3})$

Langkah 13

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis lingkaran.

Pusat: $(- 3, \frac{1}{3})$

Jari-jari lingkaran: $\sqrt{2}$

Langkah 14