Prakalkulus Contoh

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y - 44 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $44$ ke kedua sisi persamaan.

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $25 x^{2} - 100 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 100$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 50}{25}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 50$ dan $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 100$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $10000$ dengan $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $100$ .

$e = 0 - 100$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $100$ dengan $0$ .

$e = - 100$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Langkah 1.3

Substitusikan $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ untuk $25 x^{2} - 100 x$ dalam persamaan $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} + 54 y = 44$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 100$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $100$ ke kedua sisinya.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = 44 + 100$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $9 y^{2} + 54 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{27}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$d = 3$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $54$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $2916$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $81$ .

$e = 0 - 81$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $81$ dengan $0$ .

$e = - 81$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Langkah 1.6

Substitusikan $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ untuk $9 y^{2} + 54 y$ dalam persamaan $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = 44 + 100$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 81$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $81$ ke kedua sisinya.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 44 + 100 + 81$

Langkah 1.8

Sederhanakan $44 + 100 + 81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $44$ dan $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 144 + 81$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $144$ dan $81$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $225$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(2, - 3)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $9$ dengan $25$ .

$\sqrt{16}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(2, - 3 + 5)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(2, 2)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(2, - 3 - (5))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(2, - 8)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(2, - 3 + 4)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(2, 1)$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(2, - 3 - (4))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(2, - 7)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $9$ dengan $25$ .

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

Langkah 8.3.5

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{4}{5}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Eksentrisitas: $\frac{4}{5}$

Langkah 10