Prakalkulus Contoh

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Langkah 1

Ubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Langkah 2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Langkah 2.1.2

Perluas $(x - 2) (9 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Langkah 2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Langkah 2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Langkah 2.1.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Langkah 2.1.3.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Langkah 2.1.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Langkah 2.1.3.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Langkah 2.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Langkah 2.1.3.2

Tambahkan $9 x$ dan $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Langkah 2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Langkah 2.3.3

Kurangi $10$ dengan $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Langkah 2.3.4

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $11 x - x^{2} - 28$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Susun kembali $11 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Langkah 2.3.4.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Langkah 2.3.4.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Langkah 2.3.4.1.4

Tulis kembali $- 28$ sebagai $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Langkah 2.3.4.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Langkah 2.3.4.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Langkah 2.3.4.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Faktorkan $x^{2} - 11 x + 28$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $28$ dan jumlahnya $- 11$ .

$- 7, - 4$

Langkah 2.3.4.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Langkah 2.3.4.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Langkah 2.3.5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3.6

Atur $x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Atur $x - 7$ sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

Langkah 2.3.6.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 7$

Langkah 2.3.7

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3.7.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.3.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (x - 7) (x - 4) = 0$ benar.

$x = 7, 4$

Langkah 3

Tentukan domain dari $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\log (11 x - x^{2} - 18)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $11 x - x^{2} - 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Susun kembali $11 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Langkah 3.2.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Langkah 3.2.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Langkah 3.2.2.1.4

Tulis kembali $- 18$ sebagai $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Langkah 3.2.2.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Langkah 3.2.2.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Langkah 3.2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 11 x + 18$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $18$ dan jumlahnya $- 11$ .

$- 9, - 2$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Langkah 3.2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Langkah 3.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 3.2.4

Atur $x - 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Atur $x - 9$ sama dengan $0$ .

$x - 9 = 0$

Langkah 3.2.4.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 9$

Langkah 3.2.5

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 3.2.5.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (x - 9) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 9, 2$

Langkah 3.2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Langkah 3.2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Uji nilai pada interval $x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 3.2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Langkah 3.2.8.1.3

Sisi kiri $- 18$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 3.2.8.2

Uji nilai pada interval $2 < x < 9$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Pilih nilai pada interval $2 < x < 9$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 3.2.8.2.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Langkah 3.2.8.2.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 3.2.8.3

Uji nilai pada interval $x > 9$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 9$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 12$

Langkah 3.2.8.3.2

Ganti $x$ dengan $12$ pada pertidaksamaan asal.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Langkah 3.2.8.3.3

Sisi kiri $- 30$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 3.2.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 2$ Salah

$2 < x < 9$ Benar

$x > 9$ Salah

$x < 2$ Salah

$2 < x < 9$ Benar

$x > 9$ Salah

Langkah 3.2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$2 < x < 9$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(2, 9)$

Langkah 4

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Langkah 5

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Uji nilai pada interval $x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 5.1.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Langkah 5.1.3

Tentukan apakah pertidaksamaan tersebut benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.1.3.2

Sisi kirinya tidak memiliki penyelesaian, yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.2

Uji nilai pada interval $2 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pilih nilai pada interval $2 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 5.2.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Langkah 5.2.3

Sisi kiri $0.77815125$ lebih kecil dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3

Uji nilai pada interval $4 < x < 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pilih nilai pada interval $4 < x < 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 5.3.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Langkah 5.3.3

Sisi kiri $1.07918124$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.4

Uji nilai pada interval $7 < x < 9$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pilih nilai pada interval $7 < x < 9$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 5.4.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Langkah 5.4.3

Sisi kiri $0.77815125$ lebih kecil dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.5

Uji nilai pada interval $x > 9$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 9$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 12$

Langkah 5.5.2

Ganti $x$ dengan $12$ pada pertidaksamaan asal.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Langkah 5.5.3

Tentukan apakah pertidaksamaan tersebut benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.5.3.2

Sisi kirinya tidak memiliki penyelesaian, yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 2$ Salah

$2 < x < 4$ Benar

$4 < x < 7$ Salah

$7 < x < 9$ Benar

$x > 9$ Salah

$x < 2$ Salah

$2 < x < 4$ Benar

$4 < x < 7$ Salah

$7 < x < 9$ Benar

$x > 9$ Salah

Langkah 6

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$2 < x < 4$ atau $7 < x < 9$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Notasi Interval:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Langkah 8