Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = x$ .

$\frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = x$

Langkah 3.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $9$ .

$9 \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = 9 x$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = 9 x$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt[5]{y - 2} = 9 x$

Langkah 3.4

Untuk menghapus akar di sisi kiri persamaan, pangkatkan kedua sisi persamaan ke pangkat $5$ .

${\sqrt[5]{y - 2}}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Langkah 3.5

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{y - 2}$ sebagai ${(y - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Sederhanakan ${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Langkah 3.5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(y - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Langkah 3.5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(y - 2)}^{1} = {(9 x)}^{5}$

Langkah 3.5.2.1.2

Sederhanakan.

$y - 2 = {(9 x)}^{5}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Sederhanakan ${(9 x)}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $9 x$ .

$y - 2 = 9^{5} x^{5}$

Langkah 3.5.3.1.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $5$ .

$y - 2 = 59049 x^{5}$

Langkah 3.6

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 59049 x^{5} + 2$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 {(\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9})}^{5} + 2$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{\sqrt[5]{x - 2}}^{5}}{9^{5}}) + 2$

Langkah 5.2.3.2

Tulis kembali ${\sqrt[5]{x - 2}}^{5}$ sebagai $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{x - 2}$ sebagai ${(x - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{9^{5}}) + 2$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) + 2$

Langkah 5.2.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{5}{5}}}{9^{5}}) + 2$

Langkah 5.2.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{5}{5}}}{9^{5}}) + 2$

Langkah 5.2.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{9^{5}}) + 2$

Langkah 5.2.3.2.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{9^{5}}) + 2$

Langkah 5.2.3.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{59049}) + 2$

Langkah 5.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $59049$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{59049}) + 2$

Langkah 5.2.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x - 2 + 2$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $x - 2 + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (59049 x^{5} + 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{(59049 x^{5} + 2) - 2}}{9}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{59049 x^{5} + 0}}{9}$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $59049 x^{5}$ dan $0$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{59049 x^{5}}}{9}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis kembali $59049 x^{5}$ sebagai ${(9 x)}^{5}$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{{(9 x)}^{5}}}{9}$

Langkah 5.3.3.4

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{9 x}{9}$

Langkah 5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{9 x}{9}$

Langkah 5.3.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$