Prakalkulus Contoh

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{y}}^{5}$ sebagai $\sqrt[3]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan $y^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

Langkah 3.1.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

Langkah 3.1.3

Naikkan $10$ menjadi pangkat $5$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

Langkah 3.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ .

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

Langkah 3.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{y^{2}}$ sebagai $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

Langkah 3.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $100000$ .

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Langkah 3.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan $100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $100000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Langkah 3.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $y$ dengan $y^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1

Kalikan $y$ dengan $y^{\frac{2}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Langkah 3.5.1.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Langkah 3.5.1.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Langkah 3.5.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

Langkah 3.5.1.2.4

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

Langkah 3.6

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $\frac{3}{5}$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.1.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.1.1.2

Sederhanakan.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Sederhanakan ${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $100000 x$ .

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.2.1.1.2

Tulis kembali $100000$ sebagai $10^{5}$ .

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.2.1.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

Langkah 3.7.2.1.3

Naikkan $10$ menjadi pangkat $3$ .

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ merupakan balikan dari $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 5.2.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Langkah 5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

Langkah 5.2.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

Langkah 5.2.4

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Langkah 5.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Langkah 5.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Langkah 5.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Langkah 5.2.4.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Langkah 5.2.5

Naikkan $10$ menjadi pangkat $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Langkah 5.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $1000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Langkah 5.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali $1000 x^{\frac{3}{5}}$ sebagai ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

Langkah 5.3.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Langkah 5.3.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Bagilah $x^{\frac{1}{5}}$ dengan $1$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Langkah 5.3.4.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Langkah 5.3.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Langkah 5.3.4.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ merupakan balikan dari $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$