Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x - 1}} + \sqrt{x^{2} - x - 2}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{\frac{x - 2}{x - 1}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{x - 2}{x - 1} \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.4

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 2$

$x = 1$

Langkah 2.5

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 2, 1$

Langkah 2.6

Tentukan domain dari $\frac{x - 2}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur penyebut dalam $\frac{x - 2}{x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 1 = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.6.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Uji nilai pada interval $x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) - 2}{(0) - 1} \geq 0$

Langkah 2.8.1.3

Sisi kiri $2$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.2

Uji nilai pada interval $1 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.5$

Langkah 2.8.2.2

Ganti $x$ dengan $1.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(1.5) - 2}{(1.5) - 1} \geq 0$

Langkah 2.8.2.3

Sisi kiri $- 1$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.8.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 2.8.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(4) - 2}{(4) - 1} \geq 0$

Langkah 2.8.3.3

Sisi kiri $0.\overline{6}$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 1$ Benar

$1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < 1$ Benar

$1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < 1$ atau $x \geq 2$

Langkah 3

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{2} - x - 2}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{2} - x - 2 \geq 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan $x^{2} - x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 2, 1$

Langkah 4.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Langkah 4.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 4.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 4.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 4.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 4.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 4.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 2, - 1$

Langkah 4.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 4.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 4.8.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 4)}^{2} - (- 4) - 2 \geq 0$

Langkah 4.8.1.3

Sisi kiri $18$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.8.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 4.8.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

${(0)}^{2} - (0) - 2 \geq 0$

Langkah 4.8.2.3

Sisi kiri $- 2$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 4.8.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 4.8.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

${(4)}^{2} - (4) - 2 \geq 0$

Langkah 4.8.3.3

Sisi kiri $10$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 4.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 1$ atau $x \geq 2$

Langkah 5

Atur penyebut dalam $\frac{x - 2}{x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 1 = 0$

Langkah 6

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 7

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1] \cup [2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 1, x \geq 2}$

Langkah 8