Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ tidak terdefinisi.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Langkah 2

Karena $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $\ln (2)$ dari kiri dan $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $\ln (2)$ dari kanan, maka $x = \ln (2)$ adalah asimtot tegak.

$x = \ln (2)$

Langkah 3

Karena $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $\ln (3)$ dari kiri dan $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $\ln (3)$ dari kanan, maka $x = \ln (3)$ adalah asimtot tegak.

$x = \ln (3)$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = \ln (2), \ln (3)$

Langkah 5

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Langkah 5.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Langkah 5.1.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Langkah 5.2

Karena eksponen $2 x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{2 x}$ mendekati $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Langkah 5.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Langkah 5.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Langkah 5.4

Karena eksponen $2 x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{2 x}$ mendekati $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Langkah 5.5

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Langkah 5.6

Karena eksponen $x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Langkah 5.7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Evaluasi limit dari $6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $3 \cdot 0 + 2$ dan $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $- 1 (0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Langkah 5.7.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Langkah 5.7.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Langkah 5.7.2.1.4

Tulis kembali $6$ sebagai $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Langkah 5.7.2.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Langkah 5.7.2.1.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Langkah 5.7.2.1.7

Faktorkan $2$ dari $3 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Langkah 5.7.2.1.8

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Langkah 5.7.2.1.9

Faktorkan $2$ dari $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Langkah 5.7.2.1.10

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.10.1

Faktorkan $2$ dari $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Langkah 5.7.2.1.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Langkah 5.7.2.1.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Langkah 5.7.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Langkah 5.7.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Langkah 5.7.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Langkah 5.7.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Langkah 5.7.2.3.3

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Langkah 5.7.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 6

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = \frac{1}{3}$

Langkah 7

Tidak ada asimtot miring karena pangkat dari pembilangnya lebih kecil dari atau sama dengan pangkat dari penyebutnya.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 8

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = \ln (2), \ln (3)$

Asimtot Datar: $y = \frac{1}{3}$

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 9