Prakalkulus Contoh

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

Langkah 1

Atur penyebut dalam $\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

Langkah 2

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $t$ dari $t^{3} + 6 t^{2} + t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $t$ dari $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $t$ dari $6 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Langkah 2.1.3

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $t$ dari $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

Langkah 2.1.5

Faktorkan $t$ dari $t \cdot t^{2} + t (6 t)$ .

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

Langkah 2.1.6

Faktorkan $t$ dari $t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Langkah 2.3

Atur $t$ sama dengan $0$ .

$t = 0$

Langkah 2.4

Atur $t^{2} + 6 t + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $t^{2} + 6 t + 1$ sama dengan $0$ .

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $t^{2} + 6 t + 1 = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 6$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $t$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.3

Kurangi $4$ dengan $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.4.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.4.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.3

Kurangi $4$ dengan $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.4.2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.4.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.4.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.3

Kurangi $4$ dengan $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.4.2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.4.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.4.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ benar.

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 3

Domain adalah semua nilai dari $t$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Langkah 4