Prakalkulus Contoh

$f (x) = 8 x^{5} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 8 x^{5} - 7$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 8 x^{5} - 7$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 8 y^{5} - 7$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $8 y^{5} - 7 = x$ .

$8 y^{5} - 7 = x$

Langkah 3.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$8 y^{5} = x + 7$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $8 y^{5} = x + 7$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $8 y^{5} = x + 7$ dengan $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $y^{5}$ dengan $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Langkah 3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $\sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$

Langkah 3.5.2

Tulis kembali $\sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$ sebagai $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$

Langkah 3.5.3

Kalikan $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ dengan $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Langkah 3.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Kalikan $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ dengan $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Langkah 3.5.4.2

Naikkan $\sqrt[5]{8}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Langkah 3.5.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Langkah 3.5.4.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Langkah 3.5.4.5

Tulis kembali ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ sebagai $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{8}$ sebagai $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Langkah 3.5.4.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Langkah 3.5.4.5.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Langkah 3.5.4.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Langkah 3.5.4.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Langkah 3.5.4.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Langkah 3.5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Tulis kembali ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ sebagai $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Langkah 3.5.5.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Langkah 3.5.5.3

Tulis kembali $4096$ sebagai $4^{5} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.3.1

Faktorkan $1024$ dari $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Langkah 3.5.5.3.2

Tulis kembali $1024$ sebagai $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Langkah 3.5.5.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Langkah 3.5.5.5

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{8}$

Langkah 3.5.6

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4})}{8}$

Langkah 3.5.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Langkah 3.5.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Langkah 3.5.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$

Langkah 3.5.6.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (8 x^{5} - 7)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 ((8 x^{5} - 7) + 7)}}{2}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tambahkan $- 7$ dan $7$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5} + 0)}}{2}$

Langkah 5.2.3.2

Tambahkan $8 x^{5}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 \cdot (8 x^{5})}}{2}$

Langkah 5.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Langkah 5.2.3.4

Tulis kembali $32 x^{5}$ sebagai ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Langkah 5.2.3.5

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})}^{5} - 7$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Tulis kembali ${\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}$ sebagai $4 (x + 7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{4 (x + 7)}$ sebagai ${(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.1.5

Sederhanakan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.3

Kalikan $4$ dengan $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 28}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan $4$ dari $4 x + 28$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.4.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x) + 28}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.4.2

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.2.4.3

Faktorkan $4$ dari $4 x + 4 \cdot 7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Langkah 5.3.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{32}) - 7$

Langkah 5.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.4.1

Faktorkan $8$ dari $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 (4)}) - 7$

Langkah 5.3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 \cdot 4}) - 7$

Langkah 5.3.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Langkah 5.3.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Langkah 5.3.3.5.2

Bagilah $x + 7$ dengan $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 7 - 7$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 7 - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi $7$ dengan $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$