Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = \sqrt{15}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 7$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 7)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15}$ sebagai $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Langkah 5.3.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Langkah 5.3.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}$

Langkah 5.3.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}$

Langkah 5.3.4

Kalikan $- (4 \cdot 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\sqrt{15 - 1 \cdot 12}$

Langkah 5.3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\sqrt{15 - 12}$

Langkah 5.3.5

Kurangi $12$ dengan $15$ .

$\sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 7 + \sqrt{15})$

Langkah 6.3

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 7 - (\sqrt{15}))$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$(0, 7 - \sqrt{15})$

Langkah 6.6

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 7 + \sqrt{3})$

Langkah 7.3

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 7 - (\sqrt{3}))$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(0, 7 - \sqrt{3})$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15}$ sebagai $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.5

Kalikan $- (4 \cdot 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{15 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\frac{\sqrt{15 - 12}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.1.6

Kurangi $12$ dengan $15$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{15}$ ke dalam akar tunggal.

$\sqrt{\frac{3}{15}}$

Langkah 8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{15}}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{\frac{1}{5}}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{5}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Langkah 8.3.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Langkah 8.3.6

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.7.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.7.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 8.3.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.3.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 8.3.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.3.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.3.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 8.3.7.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Langkah 10