Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ dan yang jumlahnya adalah $b = 14$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $14$ dari $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali $14$ sebagai $- 1$ ditambah $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 2.4

Atur $5 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $5 x - 1$ sama dengan $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $5 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x = 1$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $5 x = 1$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x = 1$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Langkah 2.5

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Langkah 2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Langkah 2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

Langkah 2.8.1.3

Sisi kiri $93$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < \frac{1}{5}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < \frac{1}{5}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.8.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

Langkah 2.8.2.3

Sisi kiri $- 3$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.8.3

Uji nilai pada interval $x > \frac{1}{5}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > \frac{1}{5}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 2.8.3.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

Langkah 2.8.3.3

Sisi kiri $84$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Salah

$x > \frac{1}{5}$ Benar

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Salah

$x > \frac{1}{5}$ Benar

Langkah 2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 3$ atau $x \geq \frac{1}{5}$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ sebagai ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.2

Sederhanakan.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Faktorkan $14$ dari $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Langkah 4.3.1.1.2

Tulis kembali $14$ sebagai $- 1$ ditambah $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Langkah 4.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Langkah 4.3.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Langkah 4.3.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Langkah 4.3.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Langkah 4.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 4.3.3

Atur $5 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Atur $5 x - 1$ sama dengan $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Langkah 4.3.3.2

Selesaikan $5 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x = 1$

Langkah 4.3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $5 x = 1$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x = 1$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Langkah 4.3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Langkah 4.3.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Langkah 4.3.4

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 4.3.4.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 4.3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Langkah 4.4

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ benar.

$x = - 3$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

Langkah 6