Prakalkulus Contoh

$\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{2} - 9}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{2} - 9 \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tambahkan $9$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} \geq 9$

Langkah 2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Langkah 2.3

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan $\sqrt{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Langkah 2.3.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \geq | 3 |$

Langkah 2.3.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$| x | \geq 3$

Langkah 2.4

Tulis $| x | \geq 3$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 2.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \geq 3$

Langkah 2.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 2.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \geq 3$

Langkah 2.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Langkah 2.5

Tentukan irisan dari $x \geq 3$ dan $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Langkah 2.6

Bagi setiap suku pada $- x \geq 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq 3$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Langkah 2.6.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Langkah 2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Bagilah $3$ dengan $- 1$ .

$x \leq - 3$

Langkah 2.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x \leq - 3$ atau $x \geq 3$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \sqrt{x^{2} - 9} = - 4$

Langkah 4.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(- \sqrt{x^{2} - 9})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 9}$ sebagai ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan ${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.3

Kalikan ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ dengan $1$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.5

Sederhanakan.

$x^{2} - 9 = {(- 4)}^{2}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x^{2} - 9 = 16$

Langkah 4.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 16 + 9$

Langkah 4.4.1.2

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$x^{2} = 25$

Langkah 4.4.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 4.4.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 4.4.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 4.4.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 4.4.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3] \cup [3, 5) \cup (5, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 3, x \geq 3, x \neq 5, - 5}$

Langkah 6