Prakalkulus Contoh

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 5 x^{3} + 5$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 5 x^{3} + 5$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 5 y^{3} + 5$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $5 y^{3} + 5 = x$ .

$5 y^{3} + 5 = x$

Langkah 3.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 y^{3} = x - 5$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $5 y^{3} = x - 5$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $5 y^{3} = x - 5$ dengan $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $y^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $- 5$ dengan $5$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

Langkah 3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Langkah 3.5.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Langkah 3.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Langkah 3.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

Langkah 3.5.5

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

Langkah 3.5.6

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Langkah 3.5.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Langkah 3.5.7.2

Naikkan $\sqrt[3]{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Langkah 3.5.7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.5.7.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Langkah 3.5.7.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.5.7.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.5.7.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.5.7.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.5.7.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Langkah 3.5.7.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Langkah 3.5.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.8.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Langkah 3.5.8.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

Langkah 3.5.9

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.9.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

Langkah 3.5.9.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ merupakan balikan dari $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Langkah 5.2.3.2

Tambahkan $5 x^{3}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Langkah 5.2.3.3

Kalikan $25$ dengan $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Langkah 5.2.3.4

Tulis kembali $125 x^{3}$ sebagai ${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Langkah 5.2.3.5

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Langkah 5.2.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ sebagai $25 (x - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ sebagai ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.1.5

Sederhanakan.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.3

Kalikan $25$ dengan $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan $25$ dari $25 x - 125$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.4.1

Faktorkan $25$ dari $25 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.4.2

Faktorkan $25$ dari $- 125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.2.4.3

Faktorkan $25$ dari $25 x + 25 \cdot - 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Langkah 5.3.3.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

Langkah 5.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.4.1

Faktorkan $5$ dari $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

Langkah 5.3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

Langkah 5.3.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Langkah 5.3.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Langkah 5.3.3.5.2

Bagilah $x - 5$ dengan $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $x - 5 + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Tambahkan $- 5$ dan $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ merupakan balikan dari $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$