Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ tidak terdefinisi.

$x = - 1, x = 0$

Langkah 2

Karena $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kiri dan $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kanan, maka $x = - 1$ adalah asimtot tegak.

$x = - 1$

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Langkah 6.1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{2} + x}$

Langkah 6.1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{2} + x}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x}$

Langkah 6.1.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x^{1}}$

Langkah 6.1.2.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Langkah 6.1.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x (x + 1)}$

Langkah 6.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (3 x + 2)$ .

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Langkah 6.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x (3 x + 2)}{x + 1}$

Langkah 6.2

Perluas $x (3 x + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 6.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 6.2.3

Susun kembali $x$ dan $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 6.2.4

Susun kembali $x$ dan $2$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x}{x + 1}$

Langkah 6.2.5

Kalikan $3$ dengan $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 2 x}{x + 1}$

Langkah 6.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Langkah 6.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Langkah 6.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 2 x}{x + 1}$

Langkah 6.2.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x + 1}$

Langkah 6.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$2 x$

$0$

Langkah 6.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Langkah 6.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 6.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{2} + 3 x$

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 6.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$

Langkah 6.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Langkah 6.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Langkah 6.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Langkah 6.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x - 1$

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Langkah 6.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Langkah 6.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$3 x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

Langkah 6.14

Pisahkan penyelesaiannya menjadi bagian polinomial dan sisanya.

$3 x - 1 + \frac{x}{x^{2} + x}$

Langkah 6.15

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = 3 x - 1$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 1$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = 3 x - 1$

Langkah 8