Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ tidak terdefinisi.

$x = - 1, x = 3$

Langkah 2

Karena $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kiri dan $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kanan, maka $x = - 1$ adalah asimtot tegak.

$x = - 1$

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 6.1.1.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 6.1.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $6 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 6.1.1.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 6.1.1.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 6.1.1.2

Faktorkan $x^{2} - 5 x + 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $6$ dan jumlahnya $- 5$ .

$- 3, - 2$

Langkah 6.1.1.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2} + 6 x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

Langkah 6.1.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $6 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

Langkah 6.1.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

Langkah 6.1.2.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

Langkah 6.1.2.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

Langkah 6.1.2.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

Langkah 6.1.2.2.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1$ ditambah $3$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

Langkah 6.1.2.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

Langkah 6.1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

Langkah 6.1.2.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

Langkah 6.1.2.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 1$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Langkah 6.1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

Langkah 6.1.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

Langkah 6.1.3.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

Langkah 6.1.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

Langkah 6.1.3.5

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.5.1

Tulis kembali $- (x + 1)$ sebagai $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

Langkah 6.1.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2

Perluas $- x (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hapus $x$ .

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.4

Buang faktor negatif.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3

Perluas $3 (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 6.3.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Langkah 6.4

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Langkah 6.5

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Langkah 6.6

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Langkah 6.7

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{2} - x$

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Langkah 6.8

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

Langkah 6.9

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Langkah 6.10

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Langkah 6.11

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

Langkah 6.12

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x + 3$

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

Langkah 6.13

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Langkah 6.14

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

Langkah 6.15

Pisahkan penyelesaiannya menjadi bagian polinomial dan sisanya.

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 6.16

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = - \frac{x}{3} + 1$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 1$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = - \frac{x}{3} + 1$

Langkah 8