Prakalkulus Contoh

$g (x) = \frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ tidak terdefinisi.

$x = - 1, x = 2$

Langkah 2

Karena $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kiri dan $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kanan, maka $x = 2$ adalah asimtot tegak.

$x = 2$

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $x^{2} - x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 2, 1$

Langkah 6.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{(x - 2) (x + 1)}$

Langkah 6.2

Perluas $(x - 2) (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x (x + 1) - 2 (x + 1)}$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (x + 1)}$

Langkah 6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.4

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{1 + 1} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.9

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2}$

Langkah 6.2.11

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} - x - 2}$

Langkah 6.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$29 x$

$24$

Langkah 6.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

							$x$
	$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$

Langkah 6.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 6.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2} - 2 x$

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 6.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Langkah 6.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Langkah 6.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Langkah 6.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$

Langkah 6.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} + 3 x + 6$

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

Langkah 6.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
									-	$30 x$	-	$30$

Langkah 6.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x - 3 + \frac{- 30 x - 30}{x^{2} - x - 2}$

Langkah 6.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x - 3$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 2$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x - 3$

Langkah 8