Prakalkulus Contoh

$g (t) = \frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$

Langkah 1

Atur argumen dalam $\ln (π - | t |)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$π - | t | > 0$

Langkah 2

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis $π - | t | > 0$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$t \geq 0$

Langkah 2.1.2

Pada bagian di mana $t$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$π - t > 0$

Langkah 2.1.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$t < 0$

Langkah 2.1.4

Pada bagian di mana $t$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$π - - t > 0$

Langkah 2.1.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π - - t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $- - t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + 1 t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Langkah 2.1.6.2

Kalikan $t$ dengan $1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Langkah 2.2

Selesaikan $π - t > 0$ ketika $t \geq 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Selesaikan $π - t > 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kurangkan $π$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- t > - π$

Langkah 2.2.1.2

Bagi setiap suku pada $- t > - π$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Bagi setiap suku dalam $- t > - π$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{- π}{- 1}$

Langkah 2.2.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{t}{1} < \frac{- π}{- 1}$

Langkah 2.2.1.2.2.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t < \frac{- π}{- 1}$

Langkah 2.2.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$t < \frac{π}{1}$

Langkah 2.2.1.2.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$t < π$

Langkah 2.2.2

Tentukan irisan dari $t < π$ dan $t \geq 0$ .

$0 \leq t < π$

Langkah 2.3

Selesaikan $π + t > 0$ ketika $t < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangkan $π$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$t > - π$

Langkah 2.3.2

Tentukan irisan dari $t > - π$ dan $t < 0$ .

$- π < t < 0$

Langkah 2.4

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- π < t < π$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sin (t) - \frac{1}{2} = 0$

Langkah 4

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $\frac{1}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Langkah 4.4

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$t = π - \frac{π}{6}$

Langkah 4.5

Sederhanakan $π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 4.5.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 4.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 4.5.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Langkah 4.6

Tentukan periode dari $\sin (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.7

Periode dari fungsi $\sin (t)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $t$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Pembuat Himpunan:

${t | - π < t < π, t \neq \frac{π}{6} + 2 π n, t \neq \frac{5 π}{6} + 2 π n}$

Langkah 6