Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai eksponensiasi.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Langkah 2.2

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $u^{2} - u - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 2, 1$

Langkah 2.3.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Langkah 2.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 2.3.3

Atur $u - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $u - 2$ sama dengan $0$ .

$u - 2 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 2$

Langkah 2.3.4

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 2.3.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 2.3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 2) (u + 1) = 0$ benar.

$u = 2, - 1$

Langkah 2.4

Substitusikan $2$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Langkah 2.5

Selesaikan $2 = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Langkah 2.5.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Langkah 2.5.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Langkah 2.5.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Langkah 2.5.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (2)$

Langkah 2.6

Substitusikan $- 1$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Langkah 2.7

Selesaikan $- 1 = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Langkah 2.7.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Langkah 2.7.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (- 1)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.7.4

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = - 1$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.8

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (2)$

Langkah 2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \geq \ln (2)$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ sebagai ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.2

Sederhanakan.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Langkah 4.3.1.2

Biarkan $u = e^{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Langkah 4.3.1.3

Faktorkan $u^{2} - u - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 2, 1$

Langkah 4.3.1.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Langkah 4.3.1.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Langkah 4.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Langkah 4.3.3

Atur $e^{x} - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Atur $e^{x} - 2$ sama dengan $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Langkah 4.3.3.2

Selesaikan $e^{x} - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$e^{x} = 2$

Langkah 4.3.3.2.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Langkah 4.3.3.2.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Langkah 4.3.3.2.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Langkah 4.3.3.2.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (2)$

Langkah 4.3.4

Atur $e^{x} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Atur $e^{x} + 1$ sama dengan $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Langkah 4.3.4.2

Selesaikan $e^{x} + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{x} = - 1$

Langkah 4.3.4.2.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Langkah 4.3.4.2.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (- 1)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3.4.2.4

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = - 1$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4.3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ benar.

$x = \ln (2)$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(\ln (2), \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > \ln (2)}$

Langkah 6