Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ tidak terdefinisi.

$x = - 2, x = 2$

Langkah 2

Karena $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 2$ dari kiri dan $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 2$ dari kanan, maka $x = - 2$ adalah asimtot tegak.

$x = - 2$

Langkah 3

Karena $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kiri dan $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kanan, maka $x = 2$ adalah asimtot tegak.

$x = 2$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 2, 2$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Langkah 8.1.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{x^{2} - 4}$

Langkah 8.1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 4}$

Langkah 8.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 2^{2}}$

Langkah 8.1.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2

Perluas $x^{2} (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2.2

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2.6

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.3

Perluas $(x + 2) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

Langkah 8.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

Langkah 8.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.4

Susun kembali $x$ dan $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.9

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

Langkah 8.3.10

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

Langkah 8.3.11

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Langkah 8.4

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.5

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.6

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Langkah 8.7

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 - 4 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Langkah 8.8

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

Langkah 8.9

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Langkah 8.10

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Langkah 8.11

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Langkah 8.12

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 0 - 4$

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Langkah 8.13

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

$4 x$

$4$

Langkah 8.14

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x + 1 + \frac{4 x + 4}{x^{2} - 4}$

Langkah 8.15

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x + 1$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 2, 2$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x + 1$

Langkah 10