Prakalkulus Contoh

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $400$ ke kedua sisi persamaan.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $- 25 x^{2} + 200 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $200$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{100}{- 25}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $100$ dan $- 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Langkah 1.2.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$d = - 4$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $200$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $40000$ dengan $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Langkah 1.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $400$ .

$e = 400$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Langkah 1.3

Substitusikan $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ untuk $- 25 x^{2} + 200 x$ dalam persamaan $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Langkah 1.4

Pindahkan $400$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $400$ ke kedua sisinya.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $9 y^{2} - 90 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 90$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 45}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 45$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 5}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $- 5$ dengan $1$ .

$d = - 5$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 90$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $8100$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $225$ .

$e = 0 - 225$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $225$ dengan $0$ .

$e = - 225$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Langkah 1.6

Substitusikan $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ untuk $9 y^{2} - 90 y$ dalam persamaan $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 225$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $225$ ke kedua sisinya.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Langkah 1.8

Sederhanakan $400 - 400 + 225$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Kurangi $400$ dengan $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $0$ dan $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $225$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan asimtot dari hiperbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Langkah 4

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Langkah 5

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Langkah 5.2

Sederhanakan $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Langkah 5.2.1.4.2

Kalikan $5$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Langkah 5.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Langkah 5.2.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Langkah 5.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Langkah 5.2.5.2

Tambahkan $- 20$ dan $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Langkah 5.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Langkah 6

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Langkah 6.2

Sederhanakan $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Langkah 6.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Langkah 6.2.1.4.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Langkah 6.2.1.4.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Langkah 6.2.1.5

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Langkah 6.2.5.2

Tambahkan $20$ dan $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Langkah 7

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Langkah 8

Asimtotnya adalah $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ dan $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Asimtot: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Langkah 9