Prakalkulus Contoh

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 5 \sqrt{x}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 5 \sqrt{x}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 5 \sqrt{y}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $5 \sqrt{y} = x$ .

$5 \sqrt{y} = x$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $5 \sqrt{y} = x$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $5 \sqrt{y} = x$ dengan $5$ .

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $\sqrt{y}$ dengan $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Sederhanakan.

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

Langkah 3.4.3.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{25}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ merupakan balikan dari $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Langkah 5.2.3.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Langkah 5.2.3.3

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Langkah 5.2.3.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Langkah 5.2.3.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Langkah 5.2.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Langkah 5.2.3.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Langkah 5.2.3.3.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Langkah 5.2.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{x^{2}}{25})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Langkah 5.3.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{5^{2}}$ sebagai ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Langkah 5.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Langkah 5.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ merupakan balikan dari $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$