Prakalkulus Contoh

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 8 x^{3}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 8 x^{3}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 8 y^{3}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $8 y^{3} = x$ .

$8 y^{3} = x$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $8 y^{3} = x$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $8 y^{3} = x$ dengan $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $y^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $\frac{x}{8}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{3}$ dari $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{3}$ dari $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

Langkah 3.4.1.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

Langkah 3.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt[3]{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 8 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (8 x^{3})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali $8 x^{3}$ sebagai ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Langkah 5.2.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Langkah 5.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Langkah 5.3.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Langkah 5.3.4.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Langkah 5.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Langkah 5.3.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Langkah 5.3.4.5

Sederhanakan.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Langkah 5.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Langkah 5.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Langkah 5.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 8 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$