Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$ tidak terdefinisi.

$x = - 3, x = 1$

Langkah 2

Karena $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $1$ dari kiri dan $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $1$ dari kanan, maka $x = 1$ adalah asimtot tegak.

$x = 1$

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Langkah 6.1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

Langkah 6.1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} + 2 x - 3}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $x^{2} + 2 x - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $2$ .

$- 1, 3$

Langkah 6.1.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)}$

Langkah 6.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)}$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Langkah 6.2

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 6.3

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 6.4

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Langkah 6.5

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Langkah 6.6

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Langkah 6.7

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Langkah 6.8

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Langkah 6.9

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Langkah 6.10

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x - 1$

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Langkah 6.11

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Langkah 6.12

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

Langkah 6.13

Pisahkan penyelesaiannya menjadi bagian polinomial dan sisanya.

$x + 1 + \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

Langkah 6.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x + 1$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 1$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x + 1$

Langkah 8