Prakalkulus Contoh

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

Langkah 1

Atur penyebut dalam $\frac{a + b}{b}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$b = 0$

Langkah 2

Atur penyebut dalam $\frac{a}{a + b}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$a + b = 0$

Langkah 3

Kurangkan $b$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$a = - b$

Langkah 4

Atur penyebut dalam $\frac{a + b}{a}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$a = 0$

Langkah 5

Atur penyebut dalam $(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$

Langkah 6

Selesaikan $a$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$a, a + b, 1$

Langkah 6.1.2

Karena $a, a + b, 1$ mengandung bilangan dan variabel, ada empat langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian bilangan, variabel, dan variabel campuran. Lalu, kalikan semuanya.

Langkah-langkah untuk menentukan KPK dari $a, a + b, 1$ adalah:

1. Cari KPK untuk bagian numerik $1, 1, 1$ .

2. Cari KPK dari bagian variabel $a^{1}$ .

3. Cari KPK dari bagian variabel majemuk $a + b$ .

4. Kalikan setiap KPK.

Langkah 6.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 6.1.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 6.1.5

KPK dari $1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 6.1.6

Faktor untuk $a^{1}$ adalah $a$ itu sendiri.

$a^{1} = a$

$a$ terjadi $1$ kali.

Langkah 6.1.7

KPK dari $a^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$a$

Langkah 6.1.8

Faktor untuk $a + b$ adalah $a + b$ itu sendiri.

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 6.1.9

KPK dari $a + b$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

$a + b$

Langkah 6.1.10

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$a (a + b)$

Langkah 6.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ dengan $a (a + b)$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ dengan $a (a + b)$ .

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $a$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(a + b) (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.2

Naikkan $a + b$ menjadi pangkat $1$ .

${(a + b)}^{1} (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.3

Naikkan $a + b$ menjadi pangkat $1$ .

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${(a + b)}^{1 + 1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${(a + b)}^{2} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $a + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{b}{a + b}$ ke dalam pembilangnya.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.6.2

Faktorkan $a + b$ dari $a (a + b)$ .

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.2.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a (a + b))$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a \cdot a + a b)$

Langkah 6.2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Kalikan $a$ dengan $a$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a^{2} + a b)$

Langkah 6.2.3.2.2

Kalikan $0$ dengan $a^{2} + a b$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali ${(a + b)}^{2}$ sebagai $(a + b) (a + b)$ .

$(a + b) (a + b) - b a = 0$

Langkah 6.3.2

Perluas $(a + b) (a + b)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$a (a + b) + b (a + b) - b a = 0$

Langkah 6.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$a \cdot a + a b + b (a + b) - b a = 0$

Langkah 6.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Kalikan $a$ dengan $a$ .

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Langkah 6.3.3.1.2

Kalikan $b$ dengan $b$ .

$a^{2} + a b + b a + b^{2} - b a = 0$

Langkah 6.3.3.2

Tambahkan $a b$ dan $b a$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Susun kembali $b$ dan $a$ .

$a^{2} + a b + a b + b^{2} - b a = 0$

Langkah 6.3.3.2.2

Tambahkan $a b$ dan $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a = 0$

Langkah 6.3.4

Kurangi $b a$ dengan $2 a b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Pindahkan $b$ .

$a^{2} + b^{2} + 2 a b - 1 a b = 0$

Langkah 6.3.4.2

Kurangi $a b$ dengan $2 a b$ .

$a^{2} + b^{2} + 1 a b = 0$

Langkah 6.3.5

Kalikan $a$ dengan $1$ .

$a^{2} + b^{2} + a b = 0$

Langkah 6.3.6

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6.3.7

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = b$ , dan $c = b^{2}$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (1 \cdot b^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.1.1

Faktorkan $b^{2}$ dari $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.1.2

Faktorkan $b^{2}$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.1.3

Faktorkan $b^{2}$ dari $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.5

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.1.7

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.8.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.3.9

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.1.1

Faktorkan $b^{2}$ dari $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.1.2

Faktorkan $b^{2}$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.1.3

Faktorkan $b^{2}$ dari $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.5

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.1.7

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.9.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.3.9.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$a = \frac{- b + b i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.3.9.4

Faktorkan $b$ dari $- b + b i \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.4.1

Faktorkan $b$ dari $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.3.9.4.2

Faktorkan $b$ dari $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.9.4.3

Faktorkan $b$ dari $b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.9.5

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.9.6

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Langkah 6.3.9.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Langkah 6.3.9.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.10

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.1.1

Faktorkan $b^{2}$ dari $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.1.2

Faktorkan $b^{2}$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.1.3

Faktorkan $b^{2}$ dari $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.5

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.1.7

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.10.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.3.10.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$a = \frac{- b - b i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.3.10.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.4.1

Faktorkan $b$ dari $- b - b i \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.10.4.1.1

Faktorkan $b$ dari $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.3.10.4.1.2

Faktorkan $b$ dari $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.10.4.1.3

Faktorkan $b$ dari $b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.10.4.2

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$a = \frac{b (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.10.5

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.10.6

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Langkah 6.3.10.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Langkah 6.3.10.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 6.3.11

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 7

Domain adalah semua nilai dari $a$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${a | a \neq 0}$