Kalkulus Contoh

$x^{2} - x y - y^{2} = 1$ , $(5, 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 5$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x y - y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y y')$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 x - (x y' + y) - 2 y y'$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x - (x y') - y - 2 y y'$

Langkah 1.2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x - x y' - y - 2 y y'$

Langkah 1.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y$

Langkah 1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y' - 2 y y' - y = - 2 x$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$- x y' - 2 y y' = - 2 x + y$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y' - 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $- x y'$ .

$y' (- x) - 2 y y' = - 2 x + y$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (- 2 y) = - 2 x + y$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ dengan $- x - 2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ dengan $- x - 2 y$ .

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.5

Tulis kembali $- (2 x - y)$ sebagai $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 2 y}$

Langkah 1.5.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (2 y)}$

Langkah 1.5.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 2 y)}$

Langkah 1.5.3.3.9

Tulis kembali $- (x + 2 y)$ sebagai $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Langkah 1.5.3.3.10

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Langkah 1.5.3.3.11

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 5$ dan $y = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 (5) - y}{(5) + 2 y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 (5) - (3)}{(5) + 2 (3)}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{10 - (3)}{5 + 2 (3)}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{10 - 3}{5 + 2 (3)}$

Langkah 1.7.3.3

Kurangi $3$ dengan $10$ .

$\frac{7}{5 + 2 (3)}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{7}{5 + 6}$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $5$ dan $6$ .

$\frac{7}{11}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{7}{11}$ dan titik yang diberikan $(5, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{7}{11} \cdot (x - (5))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{7}{11} \cdot (x - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = \frac{7}{11} x + \frac{7}{11} \cdot - 5$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{7}{11}$ dan $x$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7}{11} \cdot - 5$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{7}{11} \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{7}{11}$ dan $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7 \cdot - 5}{11}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $7$ dengan $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35}{11}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 3 = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3 \cdot \frac{11}{11}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + \frac{3 \cdot 11}{11}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 3 \cdot 11}{11}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $11$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 33}{11}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 35$ dan $33$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 2}{11}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{2}{11}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{7}{11} x - \frac{2}{11}$

Langkah 3