Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $2$ ke dalam $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Langkah 1.2.3.3

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Langkah 1.2.3.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = \frac{1}{36}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ sebagai ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = x^{3} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Langkah 2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Langkah 2.5.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Langkah 2.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Langkah 2.6

Evaluasi turunan pada $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Langkah 2.7.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Langkah 2.7.1.3

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Langkah 2.7.1.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Langkah 2.7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Langkah 2.7.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Langkah 2.7.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Langkah 2.7.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $216$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Langkah 2.7.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Langkah 2.7.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Langkah 2.7.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Langkah 2.7.2.2.4

Gabungkan $- 11$ dan $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Langkah 2.7.2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{11}{108}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- \frac{11}{108}$ dan titik yang diberikan $(2, \frac{1}{36})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{11}{108}$ ke dalam pembilangnya.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.2.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 3.3.1.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 3.3.1.2.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.2.4

Gabungkan $\frac{- 11}{54}$ dan $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Langkah 3.3.1.2.5

Kalikan $- 11$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Langkah 3.3.1.3

Pindahkan $11$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $\frac{1}{36}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $\frac{11}{54}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Langkah 3.3.2.3

Untuk menuliskan $\frac{1}{36}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $108$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Kalikan $\frac{11}{54}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.4.2

Kalikan $54$ dengan $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.4.3

Kalikan $\frac{1}{36}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.4.4

Kalikan $36$ dengan $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Langkah 3.3.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Langkah 3.3.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.1

Kalikan $11$ dengan $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Langkah 3.3.2.6.2

Tambahkan $22$ dan $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Langkah 3.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Langkah 4