Kalkulus Contoh

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Langkah 1.2.7

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Langkah 1.3.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Langkah 1.3.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2 x - 2$ dengan $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Faktorkan $2$ dari $2 x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $x - 1$ dan ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Faktorkan $x - 1$ dari $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.2.1

Faktorkan $x - 1$ dari ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Langkah 1.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Langkah 1.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{x - 1}$

Langkah 1.4

Evaluasi turunan pada $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{2}{1}$

Langkah 1.5.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $2$ dan titik yang diberikan $(2, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $2 \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Langkah 3