Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(16, \frac{17}{4})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 16$ dan $y = \frac{17}{4}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.3.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.3.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.3.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.3.11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.12

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Langkah 1.3.13

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.13.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Langkah 1.3.13.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.13.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.13.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.13.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.13.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.13.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.14

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 16$ .

$\frac{1}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1.1

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.3.1

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{4}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 1.6.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}}}$

Langkah 1.6.1.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 3}}$

Langkah 1.6.1.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{6}}$

Langkah 1.6.1.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{1 + 6}}$

Langkah 1.6.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{7}}$

Langkah 1.6.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $7$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{128}$

Langkah 1.6.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{8}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{16}{16}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{128}$

Langkah 1.6.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $128$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $\frac{16}{16}$ .

$\frac{16}{8 \cdot 16} - \frac{1}{128}$

Langkah 1.6.3.2

Kalikan $8$ dengan $16$ .

$\frac{16}{128} - \frac{1}{128}$

Langkah 1.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{16 - 1}{128}$

Langkah 1.6.5

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$\frac{15}{128}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{15}{128}$ dan titik yang diberikan $(16, \frac{17}{4})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{17}{4}) = \frac{15}{128} \cdot (x - (16))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{15}{128} \cdot (x - 16)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{17}{4} = 0 + 0 + \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} x + \frac{15}{128} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{15}{128}$ dan $x$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{128} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $16$ dari $128$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 (8)} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $16$ dari $- 16$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{8} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{15}{8}$ dan $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15 \cdot - 1}{8}$

Langkah 2.3.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.7.1

Kalikan $15$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15}{8}$

Langkah 2.3.1.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $\frac{17}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4}$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $\frac{17}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Kalikan $\frac{17}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{8}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 17 \cdot 2}{8}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $17$ dengan $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 34}{8}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 15$ dan $34$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{19}{8}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{15}{128} x + \frac{19}{8}$

Langkah 3