Kalkulus Contoh

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $\frac{π}{3}$ ke dalam $x$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan $4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 (\sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \sqrt{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = \frac{π}{3}$ dan $y = \sqrt{3}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (x) \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.4

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.5

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.8

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Langkah 2.9

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Langkah 2.10

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Langkah 2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Langkah 2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Langkah 2.13.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Langkah 2.13.3

Tulis kembali $4 \cos^{2} (x)$ sebagai ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Langkah 2.13.4

Tulis kembali $4 \sin^{2} (x)$ sebagai ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Langkah 2.13.5

Susun kembali $- {(2 \sin (x))}^{2}$ dan ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Langkah 2.13.6

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2 \cos (x)$ dan $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Langkah 2.13.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.8

Perluas $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.8.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.8.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.8.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.9

Gabungkan suku balikan dalam $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.9.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ dan $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.9.2

Tambahkan $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ dan $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.9.3

Tambahkan $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ dan $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.10.1

Kalikan $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.10.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.10.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.10.1.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.10.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.10.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.13.10.2

Kalikan $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.10.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Langkah 2.13.10.2.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Langkah 2.13.10.2.3

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Langkah 2.13.10.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Langkah 2.13.10.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Langkah 2.14

Evaluasi turunan pada $x = \frac{π}{3}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \frac{1}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$1 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Langkah 2.15.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$1 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.8

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.8.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.8.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.8.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - 4 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.8.5

Evaluasi eksponennya.

$1 - 4 \frac{3}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.9

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 4 (\frac{3}{4})$

Langkah 2.15.1.10

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.10.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$1 + 4 (- 1) \frac{3}{4}$

Langkah 2.15.1.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + 4 \cdot - 1 \frac{3}{4}$

Langkah 2.15.1.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - 1 \cdot 3$

Langkah 2.15.1.11

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$1 - 3$

Langkah 2.15.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- 2$ dan titik yang diberikan $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{3}) = - 2 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \sqrt{3} = - 2 x - 2 (- \frac{π}{3})$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $- 2 (- \frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$y - \sqrt{3} = - 2 x + 2 \frac{π}{3}$

Langkah 3.3.1.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = - 2 x + \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\sqrt{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Untuk menuliskan $\sqrt{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.3.2

Gabungkan $\sqrt{3}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - 2 x + \frac{2 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.3.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4