Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 3}$ , $x = - 2$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $- 2$ ke dalam $x$ .

$y = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \sqrt{4 + 3}$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$y = \sqrt{7}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 2$ dan $y = \sqrt{7}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 3}$ sebagai ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 2.10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 2.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 2.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 2.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.12

Evaluasi turunan pada $x = - 2$ .

$\frac{- 2}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 2}{{(4 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.1.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$\frac{- 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ dan titik yang diberikan $(- 2, \sqrt{7})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{7}) = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (- 2))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \sqrt{7} = 0 + 0 - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.1.5.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.1.5.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.6.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 \cdot x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.1.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\sqrt{7}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Untuk menuliskan $\sqrt{7}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7} \cdot \frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.2

Gabungkan $\sqrt{7}$ dan $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + \sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.1

Kalikan $\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1 + 1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{1}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4.2

Evaluasi eksponennya.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.4.3

Tambahkan $- 4$ dan $7$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.5

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x) + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3.3.6

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4