Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $1$ ke dalam $x$ .

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Langkah 1.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Langkah 1.2.4.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Langkah 1.2.4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

Langkah 1.2.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$y = \ln (1 + 2)$

Langkah 1.2.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \ln (3)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = \ln (3)$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Langkah 2.2.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Langkah 2.2.9.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Langkah 2.3

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Langkah 2.4.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Langkah 2.4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

Langkah 2.4.1.5

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

Langkah 2.4.1.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2.1.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $8$ .

$6 (\frac{1}{3})$

Langkah 2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $2$ dan titik yang diberikan $(1, \ln (3))$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $2 \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\ln (3)$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

Langkah 4