Kalkulus Contoh

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 1)$ , $(4, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + 0)$

Langkah 1.2.7

Tambahkan $2 x - 4$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $2 x - 4$ dengan $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Langkah 1.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Langkah 1.3.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 1}$

Langkah 1.3.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 1}$

Langkah 1.4

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$\frac{2 ((4) - 2)}{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{4^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 4 \cdot 4 + 1}$

Langkah 1.5.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 16 + 1}$

Langkah 1.5.2.3

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$\frac{2 \cdot 2}{0 + 1}$

Langkah 1.5.2.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{1}$

Langkah 1.5.3.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $4$ dan titik yang diberikan $(4, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 4 \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = 4 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = 4 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $4 \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 4 x + 4 \cdot - 4$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$y = 4 x - 16$

Langkah 3