Kalkulus Contoh

$f (x) = {(\frac{x + 2}{x - 2})}^{2}$ ; $(6, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 6$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$2 \frac{x + 2}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Langkah 1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 2$ dan $g (x) = x - 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.4.2

Kalikan $x - 2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.7

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.4.8.3

Kalikan $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ dengan $\frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{(x - 2) {(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.5

Kalikan $x - 2$ dengan ${(x - 2)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $x - 2$ dengan ${(x - 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1 + 2}}$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - 2 - x - 1 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{(2 x + 4) (0 - 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.2.2

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.4

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{(2 x + 4) \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.6

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{- 8 x + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.7

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.4

Faktorkan $8$ dari $- 8 x - 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Faktorkan $8$ dari $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.4.2

Faktorkan $8$ dari $- 16$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.4.3

Faktorkan $8$ dari $8 (- x) + 8 (- 2)$ .

$\frac{8 (- x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.6

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{8 (- (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.8

Tulis kembali $- (x + 2)$ sebagai $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.6.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8 (x + 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1.7

Evaluasi turunan pada $x = 6$ .

$- \frac{8 ((6) + 2)}{{((6) - 2)}^{3}}$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $6$ dan $2$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(6 - 2)}^{3}}$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Langkah 1.8.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Langkah 1.8.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Langkah 1.8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{64}{64}$

Langkah 1.8.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 1$

Langkah 1.8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 1$ dan titik yang diberikan $(6, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (6))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 6)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 6$

Langkah 2.3.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 6$

Langkah 2.3.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$y - 4 = - x + 6$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - x + 6 + 4$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $6$ dan $4$ .

$y = - x + 10$

Langkah 3