Kalkulus Contoh

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 5$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Langkah 1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 3$ dan $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.4.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4.8.3

Kalikan $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ dengan $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.5

Kalikan $x - 1$ dengan ${(x - 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $x - 1$ dengan ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.4

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.6

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.3.7

Kalikan $6$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.4

Faktorkan $8$ dari $- 8 x - 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Faktorkan $8$ dari $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.4.2

Faktorkan $8$ dari $- 24$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.4.3

Faktorkan $8$ dari $8 (- x) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.6

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.8

Tulis kembali $- (x + 3)$ sebagai $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.6.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.7

Evaluasi turunan pada $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $5$ dan $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Langkah 1.8.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Langkah 1.8.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Langkah 1.8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{64}{64}$

Langkah 1.8.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 1$

Langkah 1.8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 1$ dan titik yang diberikan $(5, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Langkah 2.3.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

Langkah 2.3.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - x + 5 + 4$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$y = - x + 9$

Langkah 3