Kalkulus Contoh

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ sehingga $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Langkah 1.1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.3.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.1.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.1.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.1.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.1.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.1.11

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Langkah 1.1.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.12.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.12.2

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.1

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.1.13.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.13.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Langkah 1.1.13.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.1.13.1.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Langkah 1.1.13.2

Sederhanakan $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 4.2

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ sebagai $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 4.3

Kalikan ${u_{2}}^{2}$ dengan $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$