Kalkulus Contoh

$\int x \sin (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{u}{2}$ dan $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{u \sin (u)}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

Langkah 2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u$ dan $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Langkah 6.2

Kalikan $\int \cos (u) d u$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Langkah 7

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Langkah 8

Tulis kembali $\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ sebagai $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Langkah 10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 10.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 10.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 10.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 10.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 10.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 10.5

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 10.6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 10.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$