Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Langkah 1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Langkah 1.5.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \sin (π)$

Langkah 1.5.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$u_{upper} = \sin (0)$

Langkah 1.5.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2

Gabungkan ${u_{2}}^{5}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{5}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ pada $0$ dan pada $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Langkah 5.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Langkah 5.2.2

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Langkah 5.2.3

Kurangi $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Langkah 5.3.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Bentuk Desimal:

$- 0.03515625$