Kalkulus Contoh

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\ln (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = \ln (u)$ dan $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $u$ dan $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

Langkah 7

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

Langkah 9.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

Langkah 9.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gabungkan $\ln (2 x + 1)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Langkah 9.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Langkah 9.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Langkah 9.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.3

Kalikan $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ dengan $1$ .

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.5

Untuk menuliskan $\ln (2 x + 1) x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.6

Gabungkan $\ln (2 x + 1) x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.8.1

Faktorkan $\ln (2 x + 1)$ dari $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.8.1.1

Faktorkan $\ln (2 x + 1)$ dari $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.8.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.8.1.3

Faktorkan $\ln (2 x + 1)$ dari $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Langkah 9.4.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

Langkah 9.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

Langkah 10

Susun kembali suku-suku.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$