Kalkulus Contoh

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 4 x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 8 x d x$ sehingga $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 4 x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$8 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $8 x$ dan $0$ .

$8 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2.2

Kalikan $u$ dengan $u^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $u$ dengan $u^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2.3

Gabungkan $u^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ sebagai $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$