Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ sehingga $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Langkah 1.1.3.2.2

Gabungkan $\frac{2}{x^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Langkah 1.1.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Langkah 1.1.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{x}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = \ln (1)$

Langkah 1.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{8})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Langkah 1.5.2

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $16$ keluar dari eksponen.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Langkah 1.5.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Langkah 1.5.4

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 16$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Langkah 4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ pada $16$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.2

Naikkan $16$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Langkah 4.4.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Langkah 4.4.3

Tambahkan $\frac{4096}{3}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Langkah 4.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.4.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Langkah 4.4.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $4096$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

Langkah 4.4.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.4.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.4.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2048}{3}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2048}{3}$

Bentuk Desimal:

$682.\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$682 \frac{2}{3}$