Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Langkah 1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (x)$ menjadi $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 2

Gunakan identitas pythagoras untuk mengubah $1$ menjadi $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kurangi ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ dengan ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Langkah 3.2

Tambahkan ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ dan ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Langkah 3.3

Tambahkan $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ dan $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 4

Mengalikan argumrn dari $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 5

Gabungkan.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 6

Kalikan ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ dengan $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 7

Tulis kembali $\sec (\frac{x}{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Langkah 8

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ dari $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Langkah 8.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Langkah 8.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 10

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 10.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Langkah 11.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Langkah 12

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Langkah 13.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Langkah 13.3

Kalikan $\int \sec^{2} (u) d u$ dengan $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Langkah 14

Karena turunan dari $\tan (u)$ adalah $\sec^{2} (u)$ , maka integral dari $\sec^{2} (u)$ adalah $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$