Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x - 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

Langkah 2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

Langkah 4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 6

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali ${(u + 2)}^{2}$ sebagai $(u + 2) (u + 2)$ .

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 6.5

Susun kembali $u$ dan $2$ .

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 7

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 8

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 11

Tambahkan $2 u$ dan $2 u$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 12

Bagilah $u^{2} + 4 u + 4$ dengan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

Langkah 12.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $u^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

Langkah 12.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Langkah 12.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Langkah 12.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

Langkah 12.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Langkah 12.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 u$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Langkah 12.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

Langkah 12.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 u + 0$

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

Langkah 12.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

Langkah 12.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 13

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 15

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 16

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 17

Karena $4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 18

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 19

Karena $7$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 20

Bagilah $u + 2$ dengan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

Langkah 20.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $u$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

Langkah 20.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

Langkah 20.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

Langkah 20.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

Langkah 20.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 21

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 22

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 23

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 24

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

Langkah 25

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

Langkah 26

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 27

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 28

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

Langkah 29

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1

Sederhanakan.

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Langkah 29.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.2.1

Tambahkan $8 u$ dan $7 u$ .

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Langkah 29.2.2

Tambahkan $8 \ln (| u |)$ dan $14 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Langkah 29.2.3

Kurangi $3 \ln (| u |)$ dengan $22 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

Langkah 30

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 2$ .

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$