Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ sehingga $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \frac{1}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.8

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.10

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.11

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.12

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Langkah 2.1.3.13

Tambahkan $2 x^{- 3}$ dan $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 2.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 2.1.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2

Tulis kembali $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ sebagai $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$