Kalkulus Contoh

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{3} + 5$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{3} + 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{3} + 5$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 5$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $- 1$ dan $5$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{3} + 5$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 5$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$u_{upper} = 6$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

Langkah 4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $6$ dan pada $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Langkah 4.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Langkah 4.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Langkah 4.3.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Langkah 4.3.2.2

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

Langkah 4.3.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Bentuk Desimal:

$4.46462563 \dots$