Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \csc (π A)$ . Kemudian $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ sehingga $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \csc (π A)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ adalah $f' (g (A)) g' (A)$ di mana $f (A) = \csc (A)$ dan $g (A) = π A$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\csc (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $π$ konstan terhadap $A$ , turunan dari $π A$ terhadap $A$ adalah $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ adalah $n A^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Langkah 1.1.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $A$ di $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{6})$ adalah $2$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $A$ di $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Langkah 2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $- \frac{1}{π} u_{2}$ pada $1$ dan pada $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Langkah 4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Langkah 4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Langkah 4.4.2

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{1}{π}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{π}$

Bentuk Desimal:

$0.31830988 \dots$