Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Kemudian $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ sehingga $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.1.4.2

Kurangi $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 6

Tulis kembali $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + \frac{1}{x}$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$