Kalkulus Contoh

$\int \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x - 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.2

Gabungkan.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.6

Kalikan $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Perluas $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.6

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.7

Kalikan $u^{- \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 11.2

Untuk menuliskan $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Langkah 11.3

Gabungkan $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Langkah 11.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Langkah 11.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Faktorkan $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1.1

Pindahkan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Langkah 11.5.1.2

Faktorkan $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Langkah 11.5.1.3

Faktorkan $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)}{3} + C$

Langkah 11.5.1.4

Faktorkan $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 3)}{3} + C$

Langkah 11.5.2

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{1} + 3)}{3} + C$

Langkah 11.5.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1 + 3)}{3} + C$

Langkah 11.5.4

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2)}{3} + C$

Langkah 11.5.5

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2)}{3} + C$

Langkah 11.5.5.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (1))}{3} + C$

Langkah 11.5.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 1)}{3} + C$

Langkah 11.5.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$

Langkah 11.6

Gabungkan.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

Langkah 11.7

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

Langkah 11.8

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{3} + C$

Langkah 11.9

Kalikan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$