Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ sebagai $u - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u - 4}$ sebagai ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{u - 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $u^{\frac{3}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.2.2

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Langkah 4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5

Perluas $(u - 4) u^{- \frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.6

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Langkah 9

Karena $- 4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{3}{2}} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Untuk menuliskan $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Langkah 13.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.1.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.2

Kalikan ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{1} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.3

Sederhanakan ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 4 + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.4

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.4

Gabungkan.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.7

Kalikan $x^{2} + 8$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$