Kalkulus Contoh

$(\int x^{2} \ln (x^{2} + 1) d x)$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{u_{1} - 1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2} \ln (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2}$ dan $\ln (u_{1})$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (u_{1})$ dan $d v = \sqrt{u_{1} - 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 5.2

Gabungkan $\ln (u_{1})$ dan $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (u_{1}) (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 5.5

Kalikan $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ dengan $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3 u_{1}} d u_{1})$

Langkah 6

Karena $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$

Langkah 8

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$ sebagai $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 9

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

Langkah 10

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$ sebagai $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $u_{1} - 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Langkah 11.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Langkah 12.1.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Langkah 12.1.4

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Langkah 12.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Faktorkan $2 x^{3}$ dari $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1.1

Faktorkan $2 x^{3}$ dari $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Langkah 12.4.1.2

Faktorkan $2 x^{3}$ dari $- 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Langkah 12.4.1.3

Faktorkan $2 x^{3}$ dari $2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Langkah 12.4.2

Tulis kembali $- 1 \ln (| x^{2} + 1 |)$ sebagai $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Langkah 12.4.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

Langkah 12.5

Gabungkan.

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

Langkah 12.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

Langkah 12.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{3} + C$

Langkah 12.7

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}) + C$