Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

Langkah 1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Langkah 2

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Langkah 2.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + x (- x)$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x - x \cdot x$

Langkah 2.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Langkah 2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x - x^{2}$

Langkah 2.1.5

Susun kembali $x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Langkah 2.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Langkah 2.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 2.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Langkah 2.5.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Langkah 2.5.2.1.4

Kalikan $- - \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Langkah 2.5.2.1.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Langkah 2.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = x - \frac{1}{2}$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = x - \frac{1}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{1}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Langkah 3.1.4

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Langkah 4

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Langkah 4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Langkah 5

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Langkah 6

Susun kembali $- u^{2}$ dan ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ terhadap $u$ adalah $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Langkah 8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Langkah 10.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Langkah 10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Langkah 10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (2 x - 1) + C$